\subsection{Точечного и доверительного для смешанной неопределенности}

Рассматриваем схему <<мерим--шагаем>>.

\begin{gather*}
\left\{
\begin{aligned}
x_{k + 1} &= A_k x_k + w_k^{(1)} + w_k^{(2)},\\
y_k &= C_k x_k + v_k^{(1)} + v_k^{(2)}, \quad k = 0, \ldots, N - 1\\
x_0 &= x_0^{(1)} + x_0^{(2)}.
\end{aligned}
\right.
\end{gather*}

Имеется 2 источника помех: стохастический и детерминированный.

{\bf  I группа неопределенностей} (имеется стохастическая информация):
\begin{gather} \label{ogr0}
w_k^{(1)}, v_k^{(1)}, x_0^{(1)} \text{ ---  независимы в совокупности}\\
\mathbb E w_k^{(1)} = 0, \mathbb E v_k^{(1)} = 0, \mathbb E x_0^{(1)} = 0\\
\mathbb D w_k^{(1)} = M_k^{(1)}, \mathbb D v_k^{(1)} = N_k^{(1)}, \mathbb D x_0^{(1)} = S^{(1)}\\
\label{ogr01}
\eta^{(1)}(0, \ldots, N - 1) = \{ x_0^{(1)}, w_0^{(1)}, \ldots, w_{N - 1}^{(1)}, v_0^{(1)}, \ldots, v_{N - 1}^{(1)}\}
\end{gather}

{\bf  II группа неопределенностей}  (имеется энергетическое ограничение, математическое ожидание не знаем):
\begin{gather} \label{ogr}
\Phi(\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1)) \leq 1\\
\Phi(\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1)) = \sum_{k = 0}^{N - 1} \left( \| w_k^{(2)} - \overline w_k \|^2_{(M_k^{(2)})^{-1}} + \| v_k^{(2)} - \overline v_k \|^2_{(N_k^{(2)})^{-1}} + \| x_0^{(2)} - \overline x_0 \|^2_{(S^{(2)})^{-1}} \right)\\
\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1) = \{ x_0^{(2)}, w_0^{(2)}, \ldots, w_{N - 1}^{(2)}, v_0^{(2)}, \ldots, v_{N - 1}^{(2)}\}
\end{gather}

{\it Задача}: по результатам измерений построить оценку неизвестного состояния  $x_N$:
\begin{equation}
x*(N) = \Argmin_p \mathbb E(\| x_N - p\|^2: \eta^{(1)}(0, \ldots, N - 1), \eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1))
\end{equation}
--- аналог чебышёвского центра.

\par
Заметим, что по отельности с каждой неопределенностью можем иметь дело (знаем, как решать). А что делать со смешанной неопределённостью?

\par 
{\bf План действий:}
\begin{itemize}
\item Интерпретируем II группу неопределённостей как неизвестные случайные величины с неизвестными математическими ожиданиями. Зафиксируем математические ожидания:
$$
\mathbb Ew_k = w_k^{(2)}, \quad \mathbb Ev_k^{(2)} = v_k^{(2)}, \quad, \mathbb Ex_0 = x_0^{(2)}.
$$
Напомним, что
$$
x_0 = x_0^{(1)} + x_0^{(2)}, \mathbb E x_0^{(1)} = 0,
w_k = w_k^{(1)} + w_k^{(2)}, \mathbb E w_k^{(1)} = 0,
v_k = v_k^{(1)} + v_k^{(2)}, \mathbb E v_k^{(1)} = 0.
$$
\item  Применим формулы фильтра Калмана (так, как действовали, когда имели только неопределённость I группы).
\item  Отпустим  $w_k^{(2)}$, $v_k^{(2)}$, $x_0^{(2)}$ и учтём, что на них наложено ограничение (\ref{ogr}).
\end{itemize}

Прежде, чем начать действовать по плану, заметим, что
\begin{multline*}
\mathbb E(\|x_N - p\|^2 \mid (\ref{ogr0} -\ref{ogr01}), (\ref{ogr})) = \\
= \mathbb E(\| (x_N - \hat x_{N|N - 1}) + (\hat x_{N|N - 1} - p) \|^2 \mid (\ref{ogr0} - \ref{ogr01}), (\ref{ogr})) = \\
= \mathbb E(\| (x_N - \hat x_{N|N - 1})\|^2 \mid (\ref{ogr0} - \ref{ogr01}), (\ref{ogr})) +\\
+ \mathbb E(\|\hat x_{N|N - 1} - p) \|^2 \mid (\ref{ogr0} - \ref{ogr01}), (\ref{ogr})) + \\
+ 2 \mathbb E( (x_N - \hat x_{N|N - 1})(\hat x_{N|N - 1} - p) \mid (\ref{ogr0} - \ref{ogr01}), (\ref{ogr})) = \\
= \mathbb E(\| x_N - \hat x_{N|N - 1}\|^2 \mid (\ref{ogr0} - \ref{ogr01}), \text{ фикс. } \eta^{(2)}) + \mathbb E(\| \hat x_{N|N - 1} - p\|^2 \mid (\ref{ogr}))
\end{multline*}

Формулы фильтра Калмана (неопределённость $\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1)$ фиксирована):

\begin{gather*}
\left\{
\begin{aligned}
\hat x_{k + 1|k}(\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1)) &= A_k \hat x_{k|k - 1}(\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1)) + w_k^{(2)} + \\
+ A_kR_{k|k - 1}C'_k&\left(C_kR_{k|k - 1}C'k + N_k^{(1)}\right)^{-1}(y_k - C_k)\hat x_{k|k - 1}(\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1)) - v_k^{(2)}),\\
\hat x_{0|-1} &= x_0^{(2)}.
\end{aligned}
\right.
\end{gather*}

\begin{gather*}
\left\{
\begin{aligned}
R_{k + 1|k} &= A_k(R_{k|k - 1} - R_{k|k - 1}C'_k(C_kR_{k|k - 1}C'_k + N^{(1)}_k)^{-1}C_kR_{k|k - 1})A'_k + M^{(1)}_k,\\
R_{0|-1} = S^{(1)}.
\end{aligned}
\right.
\end{gather*}

\par 
Учли, что $\mathbb Ex_0 = x_0^{(2)}$, $\mathbb Dx_0 = S^{(1)}$, $\mathbb Ew_k = w_k^{(2)}$, $\mathbb Ev_k = v_k^{(2)}$, $\mathbb Dw_k = M_k^{(1)}$,  $\mathbb Dv_k = N_k^{(1)}$.
\par 
Заметим, что при фиксированном $\eta^{(2)}(0, \ldots, N - 1)$ логично положить $Dw_k^{(2)} = 0$, $Dv_k^{(2)} = 0$, $Dx_0^{(2)} = 0$.
\par
{\bf Важное замечание}: на этом шаге наблюдения $y_k$ уже учли!
\par 
Теперь отпустим $x_0^{(2)}$, $v_k^{(2)}$, $w_k^{(2)}$, учитывая (\ref{ogr}). Появляется проблема: на 2 помехи  $v_k^{(2)}, w_k^{(2)}$ --- 1  ограничение, следовательно, существует степень свободы (раньше было: 1 помеха --- 1 ограничение).
\par 
Сделаем из двух помех одну:
\begin{equation}
\theta_k = \begin{pmatrix}
w_k^{(2)} \\ 
v_k^{(2)}
\end{pmatrix}, \quad
\overline\theta = \begin{pmatrix}
\overline w_k \\ 
\overline v_k
\end{pmatrix}, \quad
T_k^{-1} = \begin{pmatrix}
(M_k^{(2)})^{-1} & 0 \\ 
0 & (N_k^(2))^{-1}
\end{pmatrix}
\end{equation}
$$
w_k^{(2)}, v_k^{(2)} \text{ ---   некорреллируемы} 
$$ 

\par 
Тогда (\ref{ogr}) перепишется:

\begin{equation}
\sum_{k = 0}^{N - 1} \| \theta_k - \overline\theta_k\|^2_{T_k^{-1}} + \|x_0^{(2)} - \overline x_0\|^2_{(S^{(2)})^{-1}} \leq 1.
\end{equation}

Уравнение динамики перепишется:
\begin{gather*}
\left\{
\begin{aligned}
\hat x_{k + 1|k}(\eta^{(2)}) &= A_k(I - R_{k|k - 1}C'_k(C_kR_{k|k - 1}C'_k + N_k^{(1)})C_k)\hat x_{k|k - 1}(\eta^{(2)}) + w_k^{(2)} + \\
& + A_kR_{k|k - 1}C'_k\left(C_kR_{k|k - 1}C'k + N_k^{(1)}\right)^{-1}y_k -\\
& - A_kR_{k|k - 1}C'_k\left(C_kR_{k|k - 1}C'k + N_k^{(1)}\right)^{-1}v_k^{(2)},\\
\hat x_{0|-1} &= x_0^{(2)}.
\end{aligned}
\right.
\end{gather*}

Введём следующие обозначения:
\begin{gather*}
L_k = A_k(I - R_{k|k - 1}C'_k(C_kR_{k|k - 1}C'_k + N_k^{(1)})C_k)\\
K_k = A_kR_{k|k - 1}C'_k\left(C_kR_{k|k - 1}C'k + N_k^{(1)}\right)^{-1}\\
P_k = [I, -K_k]
\end{gather*}

Схема <<шагаем>> (уже учли наблюдения) для детерминированной задачи с ограничениями (\ref{ogr}):
\begin{gather*}
\left\{
\begin{aligned}
\hat x_{k + 1|k}(\eta^{(2)}) &= L_k\hat x_{k|k - 1}(\eta^{(2)}) + P_k\theta_k + K_ky_k,\\
\hat x_{0|-1} &= x_0^{(2)}.
\end{aligned}
\right.
\end{gather*}

\par 
Вводим функцию цены:

\begin{gather*}
V(x, 0) = \|x - \overline x_0\|^2_{(S^{(2)})^{-1}}\\
V(x, k) = 
\end{gather*}